求解三维空间中圆与直线最短距离
本文探讨如何在三维空间中计算圆与直线之间的最短距离。当圆和直线不共面时，简单的垂线法不再适用，需要更复杂的投影和计算方法。
已知条件如下：圆心O坐标为(0.3501, -0.0881, -4.8466)，法向量n为(0.4163, -0.8326, -0.3653)，半径r为1.34954；直线上两点A和B的坐标分别为(3.1932, -0.9005, 0.8082)和(1.9885, -0.9691, -0.8353)。 目标是找到圆上一点P，使其到直线AB的距离最短。
解题步骤：
- 计算直线方向向量: 通过A和B两点坐标差计算直线的方向向量。
- 计算直线法向量: 利用圆的法向量n和直线的方向向量，计算出直线AB的法向量，该法向量垂直于直线AB，并用于构建包含直线AB的平面。
- 计算圆心在法平面上的投影: 将圆心O投影到包含直线AB的平面上，得到投影点O’。
- 计算投影点到直线的距离: 在该平面上，计算投影点O’到直线AB的最短距离。
- 计算点P坐标: 利用圆心O、半径r以及步骤4中计算出的最短距离，确定圆上距离直线最近的点P的坐标。
以下是用Python和NumPy实现的代码：
import numpy as np # 已知条件 o = np.array([0.3501, -0.0881, -4.8466]) # 圆心 n = np.array([0.4163, -0.8326, -0.3653]) # 圆的法向量 r = 1.34954 # 圆的半径 a = np.array([3.1932, -0.9005, 0.8082]) # 直线上的点A b = np.array([1.9885, -0.9691, -0.8353]) # 直线上的点B # 计算直线方向向量 ab = b - a ab_direction = ab / np.linalg.norm(ab) # 计算直线法向量 normal_to_line = np.cross(n, ab_direction) normal_to_line = normal_to_line / np.linalg.norm(normal_to_line) # 计算圆心O在法平面上的投影 o_projected = o - np.dot(o - a, normal_to_line) * normal_to_line # 计算投影点到直线的距离 t = np.dot(o_projected - a, ab_direction) / np.linalg.norm(ab_direction)**2 closest_point_on_line = a + t * ab_direction shortest_distance = np.linalg.norm(o_projected - closest_point_on_line) # 计算点P坐标 (近似解，因为点P可能不在O'与直线的连线上) p_on_circle = o + (closest_point_on_line - o) * (r / np.linalg.norm(closest_point_on_line - o)) print("圆上离直线最近的点P的坐标:", p_on_circle) print("圆与直线的最短距离:", shortest_distance)
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这段代码提供了圆与直线最短距离的计算方法及Python实现。需要注意的是，代码中计算P点坐标的方法是一个近似解，因为P点不一定位于O’与直线最近点的连线上。 更精确的解法需要求解一个复杂的方程组。 但对于大多数应用场景，这个近似解已经足够精确。
以上就是如何计算三维空间中圆与直线的最短距离？的详细内容，更多请关注php中文网其它相关文章！
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